[기하학]원과 직선의 위치 관계

1) 원의 방정식

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중심이 (a,b)이고 반지름이 r인 원의 방정식은

 

(x - a)² + (y - b)² = r²특히 중심이 원점이고 반지름이 r인 원의 방정식은x² + y² = r²

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점 C(a,b)를 중심으로 하고 반지름 r인 원의 방정식은

원 위의 임의 점을 P(x,y)라 하면

∴ (x-a)² + (y-b)² = r²특히 중심이 (0,0)인 원의 방정식은 x² + y² = r²원의 방정식 (x-a)² + (y-b)² = r²을 전개하면x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - r² = 0이므로x² + y² - Ax - By + C = 0 … ① 로 나타낼 수  있다.역으로 ①과 같이 x², y² 의 계수가 같고 xy항이 없는 x, y에 대한 이차방정식을 변경하면

… ② 이므로A² + B² - 4C > 0이면 ②는 중심이

이고 반지름이

인 원이다.따라서 ①을 원의 방정식의 일반형이라 한다.

 

예1) 중심(1,-2) 이고 반지름이 3인 원의 방정식은(x - 1)² + (y + 2)² = 9예2) 방정식 x² + y² + 6x - 2y - 6 = 0은 어떤 도형을 나타내는지 말하여라풀이) 주어진 방정식을 변형하면 (x + 3)² + (y - 1)² = 16따라서 주어진 방정식은 중심이 (-3, 1)이고 반지름이 4인 원이다.　2) 원과 직선의 위치 관계직선 y = ax + b … ①원 x² + y² = r² … ② 에서①을 ②에 대입하면  (a² + 1)x ² + 2abx + b² - r² = 0즉 x에 관한 이차방정식이 된다. 이 이차방정식의 판별식을 D라하면(1) D>0  ⇔  서로 다른 두 점에서 만난다.(2) D=0  ⇔  한 점에서 만난다.(접한다.)(3) D<0  ⇔  만나지 않는다.

 

D>0	D=0	D<0

 

특히 원의 중심과 직선사이의 거리를  d라하면(1) d<r  

⇔

 서로 다른 두 점에서 만난다.(2) d=r  

⇔

한 점에서 만난다.(2) d>r  

⇔

만나지 않는다.　3) 원의 접선의 방정식

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(1) 원 x² + y² = r² 에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정식은

 

(2)

원 x² + y² = r² 위의 점 P(x₁,y₁)을 지나는 접선의 방정식xx₁ + yy₁ = r²

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설명)(1) 원 x² + y² = r² … ①구하는 접선의 y절편을 n이라 하면접선의 방정식은 y = mx + n … ②②를 ①에 대입하면   (m² + 1)x ² + 2mnx + n² - r² = 0 … ③이다.③ D=0이므로 D=4( (m² + 1)r² - n² ) = 0

따라서 구하는 접선의 방정식은

(2)       

i)  x₁≠0, y₁≠0일 때, 직선 OP의 기울기는 y₁/x₁ 이고, 직선 OP와 접선 PT는 수직이므로 접선PT의 기울기는 -x₁/y₁이다. 따라서 접선 PT의 방정식은 이식을 정리하면 xx₁ + yy₁ = x² + y² = r²ii)  x₁= 0, y₁= 0일 때, 점 P가 좌표축 위에 있을 때이므로 접선의 방정식은y=±r 또는 x=±r가 되는데 이 경우에도 xx₁ + yy₁ = r²이 성립한다.따라서 구하는 접선의 방정식은 xx₁ + yy₁ = r²이다.

 

예1) 기울기가 2이고 원 x² + y² = 25에 접하는 접선의 방정식은풀이1)

 따라서 구하는 접선의 방정식은

풀이2) 구하는 접선의 y절편을 n이라 하면접선의 방정식은 2x-y+n=0 … ① 이다.접선 ①과 원 x² + y² = 25의 중심 사이의 거리는 5이므로

따라서 구하는 접선의 방정식은

 

예2) 원 x² + y² = 5 위의 점(2,-1)에서 그은 접선의 방정식은 2x-y=5이다.

 

예3) 원 밖의 점 (2,1)에서 원 x² + y² =1에 그은 접선의 방정식을 구하여라풀이)    

접점을 P(x₁,y₁)이라 하면 구하는 접선의 방정식은 xx₁ + yy₁ = 1이것은 점 (2,1)을 지나므로 2x₁ + y₁ = 1 … ① P(x₁,y₁)은 원 위의 점이므로 x₁² + y₁² = 1 … ②①과 ②를 연립하여 풀면

 따라서 구하는 접선의 방정식은 y=1, 4x-3y=5