이차함수의 그래프와 
축과의 교점
이차함수
의 그래프와
축과의 교점을 구할 때는
에
을 대입하여 만든 이차방정식
을 풀어
좌표를 구한다.
즉, 이차방정식
의 두 근을
라 하면 이차함수
의 그래프와
축과의 교점의 좌표는
이다.
또,
축과
에서 만나는 이차함수의 식은
로 놓을 수 있다.
▶▶【보기】
에서
이므로
축과의 교점의 좌표는
이다.
이므로
축과의 교점은
이다.
이므로
축과의 교점은
이다. 이차함수의 그래프와 이차방정식의 근
이차함수
의 그래프가
축과 만나는 점의 개수를 생각하여 보자.
이것은 그래프의 위치에 따라 다음과 같이 세 가지 경우로 나눌 수 있다.
그런데
축과의 교점에서
좌표는
이므로,
축과 만나는 점의
좌표를 구할 때는
에
을 대입하여 이차방정식
을 풀면 된다.
따라서 이차함수
의 그래프가
축과 만나는 점의 개수는
이차방정식
의 근의 개수와 같다.
▶▶【보기】
의 근의 개수는 이차함수
의 그래프를
이용하여 구할 수 있다.
즉,
에서
의 그래프는
아래로 볼록하며 꼭지점이
이므로
축과 두 점에서 만난다.
따라서
의 근의 개수는
개이다.
의 근의 개수는 이차함수
의 그래프를
이용하여 구할 수 있다.
즉,
에서
의 그래프는
위로 볼록하여
꼭지점이
이므로
축과 한 점에서 만난다.
따라서
의 근의 개수는
개이다.
의 근의 개수는 이차함수
의 그래프를
이용하여 구할 수 있다.
즉,
에서
의 그래프는
아래로 볼록하며
꼭지점은
이므로
축과 만나지 않는다.
따라서
의 해는 없다. 포물선의 식 구하기 1 [꼭지점과 한 점의 좌표가 주어질 때]
꼭지점의 좌표가
인 이차함수의 식은
㉮
의 꼴로 놓을 수 있다.
이 때, 이 이차함수 위의 한 점이 주어지면 그것을 위의 ㉮에 대입하여
의 값을 구한다.▶▶【보기】
꼭지점의 좌표가
이고 점
를 지나는 포물선의 식을 구해 보자.
우선 꼭지점이
이므로 구하는 식을
으로 놓을 수 있다.
이것이 점
를 지나므로
따라서 구하는 식은
꼭지점의 좌표가
이고 점
을 지나는 포물선의 식을 구해 보자.
에
을 대입하면
따라서 구하는 식은
꼭지점의 좌표가
이고, 점
을 지나는 포물선의 식을 구해 보자.
에
을 대입하면
따라서 구하는 식은
포물선의 식 구하기 2 [
절편과 한 점의 좌표가 주어질 때]
절편이
인 이차함수의 식은
㉮
로 놓을 수 있다.
이 때 이 곡선의 위의 한 점이 주어지면 그것을 ㉮에 대입하여
을 값을 구한다.
▶▶【보기】
절편이
이고 점
를 지나는 포물선의 식을 구해 보자.
에
를 대입하면
따라서 구하는 식은
절편이
이고 점
을 지나는 포물선의 식을 구해 보자.
에
을 대입하면
따라서 구하는 식은
축과 두 점
에서 만나고 점
를 지나는
포물선의 식을 구해 보자.
에
를 대입하면
따라서 구하는 식은
포물선의 식 구하기 3 [세 점의 좌표가 주어질 때]
세 점의 좌표가 주어졌을 때, 이 세 점을 지나는 이차함수의 식은
로 놓고 주어진 세 점을 각각 대입하여 나온 세 식을 연립하여
풀어
의 값을 구한다.
▶▶【보기】
세 점
를 지나는 포물선의 식을 구해 보자.
에 주어진 세 점을 각각 대입하면
㉮
㉯
㉮＋㉯를 하면
㉮에서
따라서 구하는 식은
세 점
을 지나는 포물선의 식을 구해 보자.
에 주어진 세 점을 각각 대입하면
㉮
㉯
㉰
㉯를 ㉮에 대입하면
㉱
㉯를 ㉰에 대입하면
㉲
㉱＋㉲를 하면
㉱에서
따라서 구하는 식은
세 점
를 지나는 포물선의 식을 구해 보자.
에 주어진 세 점을 대입하면
㉮
㉯
㉮＋㉯에서
㉮에서
따라서 구하는 식은
이차함수의 활용 1 [길이에 관한 문제]
이차함수의 활용 문제를 풀 때에는 다음의 순서로 푼다.
① 주어진 조건에 유의하여 문제의 내용을 정확히 파악한다.
② 두 변수 사이의 관계를 이차함수의 식으로 나타낸다.
③ 함수의 그래프를 그리거나 주어진 조건에 맞도록 식을 변형하여 푼다.
④ 문제의 뜻에 맞는 것만을 답으로 한다.
이차함수의 활용 문제 중 길이에 관계된 문제에서는 다음의 내용들이 자주 이용되므로 잘 알아 두도록 한다.
전체 둘레의 길이가
인 직사각형의 가로의 길이를
로 놓으면
세로의 길이는
이다.
원주의 길이가
인 원의 반지름의 길이는
이다.
▶▶【보기】
길이가
인 철망을 가지고 다음 그림과 같이 세 개의 작은 직사각형으로
이루어진 직사각형 모양의 우리를 만들려고 한다. 이 때 전체 우리의 넓이를
최대로 하는 바깥 직사각형의 가로, 세로의 길이 중 짧은 것의 길이를 구해 보자.
바깥 직사각형의 가로의 길이를
, 세로의 길이를
라고 하면
㉮
따라서 바깥 직사각형의 넓이를
라고 하면
㉮에서
이므로
이므로
일 때,
는 최대이다. 이 때
이므로
바깥 직사각형의 가로, 세로의 길이 중 짧은 것은
이다.
길이
의 철망을 가지고 다음 그림과 같이 직사각형과 원으로 이루어진
새장을 만들려고 한다. 직사각형의 가로의 길이가 원의 지름의 길이와 같도록
만들 때, 전체 새장의 넓이를 최대가 되게 하는 원의 반지름의 길이를 구해 보자.
원의 반지름의 길이를
라고 하면, 직사각형의 가로의 길이는
가 된다.
바깥 직사각형의 세로의 길이를
라고 하면 전체 철망의 길이가
이므로
㉮
전체 새장의 넓이를
라고 하면
이므로 ㉮에서
따라서
는
일 때 최대가 된다.
즉, 구하는 원의 반지름의 길이는
이다.
길이가
인 노끈을 끊어서 다음 그림과 같은 두 개의 정사각형을 만들려고
한다. 이 때 두 정사각형의 넓이의 합을 최소로 하려면 노끈을 어떻게 나누어야
하는지 알아보자.
두 정사각형의 한 변의 길이를 각각
라고 하면
㉮
두 정사각형의 넓이의 합을
라고 하면
이므로 ㉮에서
따라서
일 때
는 최소가 된다.
가
이므로
이고
에서
이다.
즉, 노끈을
로 나누면 두 정사각형의 넓이의 합이 최소가 된다. 이차함수의 활용 2 [넓이에 관한 문제]
이차함수의 활용 문제를 풀 때에는 다음의 순서로 푼다.
① 주어진 조건에 유의하여 문제의 내용을 정확히 파악한다.
② 두 변수 사이의 관계를 이차함수의 식으로 나타낸다.
③ 함수의 그래프를 그리거나 주어진 조건에 맞도록 식을 변형하여 푼다.
④ 문제의 뜻에 맞는 것만을 답으로 한다.
이차함수의 활용 문제 중 넓이에 관계된 문제는 길이에 관계된 문제와 항상 연관되어 나오므로 다음의 내용들을 잘 알아 두도록 한다.
전체 둘레의 길이가
인 직사각형의 한 변의 길이가
이면
다른 한 변의 길이는
이다.
(직사각형의 넓이)＝(가로의 길이)×(세로의 길이)
(삼각형의 넓이)＝
×(밑변의 길이)×(높이)▶▶【보기】
다음 그림과 같이 가로의 길이가
, 세로의 길이가
인 직사각형에서
가로의 길이는
만큼 줄이고, 세로의 길이는
만큼 늘려서 새로운
직사각형을 만들었다. 이 직사각형의 최대 넓이를 구해 보자.
새로 생긴 직사각형의 가로의 길이는
, 세로의 길이는
이므로 넓이를
라고 하면
따라서 최대 넓이는
이다.
다음 그림과 같이 돌담을 끼고 닭장을 만들려고 한다. 길이가
인 철망을
가지고 작업을 할 때, 닭장의 최대 넓이를 구해 보자.
닭장의 가로의 길이를
라고 하면, 세로의 길이는
이다.
따라서 닭장의 넓이를
라고 하면
따라서
일 때, 닭장의 넓이는
로 최대가 된다.
다음 그림과 같이 직각삼각형 안에 직사각형을 그리려고 한다. 이 직사각형의
넓이가 최대일 때, 그 넓이를 구해 보자.
∽
에서
이므로
□
따라서 직사각형의 최대 넓이는
이다. 이차함수의 활용 3 [수에 관한 문제]
이차함수의 활용 문제를 풀 때에는 다음의 순서로 푼다.
① 주어진 조건에 유의하여 문제와 내용을 정확히 파악한다.
② 두 변수 사이의 관계를 이차함수의 식으로 나타낸다.
③ 함수의 그래프를 그리거나 주어진 조건에 맞도록 식을 변형하여 푼다.
④ 문제의 뜻에 맞는 것만을 답으로 한다.
이차함수의 활용 문제 중 수에 관한 문제는 합이나 차가 일정한 두 수의 곱의
최대값 또는 최소값을 구하는 문제가 대부분이므로 다음을 잘 알아 두도록 하자.
합이 일정할 때
합이
로 일정한 두 수 중 한 수를
로 놓으면 다른 한 수는
이므로,
두 수의 곱
는
따라서
일 때 두 수의 곱은 최대가 된다.
차가 일정할 때
차가
로 일정한 두 수 중 작은 수를
라 하면 큰 수는
이므로,
두 수의 곱
는
따라서 작은 수가
일 때, 두 수의 곱은 최소가 된다.
▶▶【보기】
합이
인 두 수의 곱의 최대값과 그 때의 두 수를 구해 보자.
합이
인 두 수를
라 하면, 두 수의 곱
는
따라서
일 때 두 수의 곱은
로 최대가 된다.
또 이 때의 두 수는
와
이다.
차가
인 두 수가 있다. 이 두 수의 곱의 최소값을 구해 보자.
차가
인 두 수를
라 하면, 두 수의 곱
는
따라서
일 때
는 최소이고, 그 최소값은
이다.
합이
인 두 수의 곱의 최대값을 구해 보자.
합이
인 두 수를
라 하면, 두 수의 곱
는
따라서
일 때
는 최대이고, 그 최대값은
이다. 이차함수의 활용 4 [시간에 관한 문제]
이차함수의 활용 문제를 풀 때에는 다음의 순서로 푼다.
① 주어진 조건에 유의하여 문제와 내용을 정확히 파악한다.
② 두 변수 사이의 관계를 이차함수의 식으로 나타낸다.
③ 함수의 그래프를 그리거나 주어진 조건에 맞도록 식을 변형하여 푼다.
④ 문제의 뜻에 맞는 것만을 답으로 한다.
▶▶【보기】
땅에서
되는 높이에서 초속
로 던져 올린 물체의
초 후의 높이를
라 하면
인 관계가 성립한다. 물체의 높이가 최대가 될 때는
몇 초 후인지 구해 보자.
따라서
일 때 높이는
으로 최대가 되므로 물체의 높이가 최대가 되는 것은
초 후이다.
다음 그림과 같이 포물선
와 직선
가 만나는 점을
라 하자.
점
는 원점
를 출발하여 포물선을 따라 움직이는 점이다.
초 후의 점
의
좌표가
일 때 점
가 점
에 도달하는 시간
를
구해 보자.
에 도달하면 직선
가
와 만나게 되므로
또는
따라서 점
가
에 도달하는 시간은
(초 후)이다.
공을 지상
지점에서 초속
로 하늘을 향해 던질 때,
초 후의 높이를
라 하면, 관계식
이 성립한다고 한다. 공이 최대로 높이
올라갔을 때는 몇 초 후인지 구해 보자.
따라서
초 후에 높이는 최대가 되고 그 높이는
이다. 이차함수의 활용 5 [금액에 관한 문제]
이차함수의 활용 문제를 풀 때에는 다음의 순서로 푼다.
① 주어진 조건에 유의하여 문제와 내용을 정확히 파악한다.
② 두 변수 사이의 관계를 이차함수의 식으로 나타낸다.
③ 함수의 그래프를 그리거나 주어진 조건에 맞도록 식을 변형하여 푼다.
④ 문제의 뜻에 맞는 것만을 답으로 한다.
▶▶【보기】
어느 상인이
원을 주고
대의 라디오를 도매상에서 사왔다. 그 중
대를
구입 가격의 절반 값으로 자선 바자회에 내놓았고 나머지 다른 라디오는
대에
원의 이익을 붙여 팔았다. 다 판 후에 전체 이익금이
원이었다고
할 때 가능한
의 최소값을 구해 보자. (단,
는 정수이다.)
대 전체의 가격이
원이므로 라디오 한 대의 가격은
원이다.
그런데
대는
원에,
대는
원에 팔았으므로
(총수입금)
이것은
원과 같으므로
그런데
와
는 모두 양의 정수이므로 다음 그래프에서
가 양의 정수가 되는
최소의 양의 정수
는
이다.
구입 가격이
에
원인 땅콩을
에
원씩 판매하면 하루에
을 팔 수 있고,
당
원씩 내릴 때마다 판매량은
씩 증가하고
에
원씩 올릴 때마다 판매량은
씩 감소한다고 한다. 하루의 이익을
최대로 하려면
당 가격을 얼마로 해야 하는지 구해 보자.
원에서
원 내렸을 때
의 판매 가격은
원이고,
하루의 판매량은
이다.
따라서 하루의 이익은
따라서
, 곧
원 내렸을 때 이익이 최대가 되므로 하루의 이익을
최대로 하려면
의 가격을
원으로 하면 된다.
구입 원가가 한 권에
원인 공책을
원에 팔면 하루에
권을 팔 수 있다.
이 공책의 판매 가격을
원씩 내릴 때마다 하루 판매량은
권씩 증가한다.
한 권에 얼마로 파는 것이 하루의 이익을 최대로 하는지 구해 보자.
공책의 판매 가격을
원 내리면
(공책 한 권의 가격)
원
(공책의 하루 판매량)
권
∴(하루의 판매 금액)
(한 권의 가격)×(하루 판매량)
따라서
일 때 하루 이익이 최대가 되므로, 그 때의 공책 한 권의 가격은
(원)
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