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이차함수의 그래프와 축과의 교점  이차함수 의 그래프와 축과의 교점을 구할 때는 에 을 대입하여 만든 이차방정식 을 풀어 좌표를 구한다.즉, 이차방정식 의 두 근을 라 하면 이차함수 의 그래프와 축과의 교점의 좌표는 이다.또, 축과 에서 만나는 이차함수의 식은로 놓을 수 있다.▶▶【보기】 에서 이므로      축과의 교점의 좌표는 이다.이므로      축과의 교점은 이다.이므로 축과의 교점은 이다. 이차함수의 그래프와 이차방정식의 근  이차함수 의 그래프가 축과 만나는 점의 개수를 생각하여 보자.이것은 그래프의 위치에 따라 다음과 같이 세 가지 경우로 나눌 수 있다.           그런데 축과의 교점에서 좌표는 이므로, 축과 만나는 점의 좌표를 구할 때는 에 을 대입하여 이차방정식을 풀면 된다. 따라..

1) 원의 방정식중심이 (a,b)이고 반지름이 r인 원의 방정식은  (x - a)2 + (y - b)2 = r2특히 중심이 원점이고 반지름이 r인 원의 방정식은x2 + y2 = r2 점 C(a,b)를 중심으로 하고 반지름 r인 원의 방정식은 원 위의 임의 점을 P(x,y)라 하면∴ (x-a)2 + (y-b)2 = r2특히 중심이 (0,0)인 원의 방정식은 x2 + y2 = r2원의 방정식 (x-a)2 + (y-b)2 = r2을 전개하면x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0이므로x2 + y2 - Ax - By + C = 0 … ① 로 나타낼 수  있다.역으로 ①과 같이 x2, y2 의 계수가 같고 xy항이 없는 x, y에 대한 이차방정식을 변경하면… ② 이므로A2 + B2 -..

1) x1 ≠ x2 일 경우y = ((y2 – y1) / (x2 – x1)) (x – x1) + y12) x1 = x2 일 경우 수직선3) y1 = y2 일 경우 수평선

하나의 평면에 대해서 2가지의 평면공식이 도출되는데, 이 2가지 평면의 공식에 대해서.. 선과 평면에 대한 교차점을 구하는 방법에 대해서 논의해 보겠습니다. 이 자료는 1991년에 작성된 Paul Bourke(http://local.wasp.uwa.edu.au)님의 글을 좀더 알기 쉽게 풀어 쓴 글입니다.방법 1.점 P는 평면 위의 임의의 점이고, N은 법선벡터이며 P3는 이미 알고 있는 평면상의 점이라고 하면 평면의 공식은 우리가 고등학교때 배운 평면의 방정식의 형태인, 다음처럼 기술됩니다.평면을 수학적으로 기술했으니, 이제는 선에 대한 공식을 알아볼 차례입니다. 이제 앞에서 언급한 점 P를 평면과 선과의 교차점이라고 하면, 점 P는 선에 대한 점입니다. 그리고 선이 지나는 이미 알고 있는 2개의 점을..

시작점에서 어떤 방향으로 무한히 뻗어 나가는 선을 편선(Ray)이라고하자.  시작점 p와 방향벡터 d로 정의된 편선이 있을때, 이 편선이 구(Sphere)와 교차하는지 확인하는 방법에 대해 생각해보자. 교차한다면 교차점은 하나 인가, 아니면 두개인가? 아래의 그림은 여개의 상황을 보여준다.첫번째 질문은 편선과 구가 교차하는지의 여부인데, 이를 위해서 구의 중심점에서 편선까지의 거리를 구해야만 한다. 만약 그 거리가 구의 반지름보다 크다면 교차하지 않는다고 할 수 있다.거리를 구하기 위해, 2가지 경우를 고려해야 하는데... 구의 중심점이 편선에 투영되는지 투영되지 않는지이다. 이는 내적을 통해 알 수 있다.구의 중심점을 c라고 하고, p에서 c까지 가는 벡터를 v라고 하자.  그렇다면 만약.......d..

]이 글은 http://www.lighthouse3d.com/opengl/maths/index.php?raytriint의 글을 통해 재구성한 글로, 변역하면서 쉽게 이해할 수 있도록 내용을 약간 수정했습니다.매개변수방정식의 형태로 편선(시작점에서 어떤 방향으로 무한하게 진행하는 선, Ray)과 삼각형의 폴리곤이 주어질때.. 이 둘이 교차하는가를 판단하는 방법에 대해 증명은 생략하고 그 방법에 대해서 알아 보겠습니다.삼각형을 구성하는 점은 다음처럼 정의할 수 있습니다.삼각형의  구성 점(u,v) = (1-u-v)*p0 + u*p1 + v*p2여기서, p0, p1, p2는 삼각형 위의 이미 알고 있는 점, u >= 0, v >= 0, u + v 그리고 편선에 대한 매개변수방정식을 다음처럼 정의할 수 있습니다..

이 글은 두 선분의 교차점을 구하는 알고리즘이 작업에 필요해서 작성해둔 글이다. 참고로, 예전에 두선분의 교차점을 구하는 것 자체가 쉬울 것으로 생각하고 흔히 생각하는 기울기, y 절편을 이용하여 접근하려고 하였다. 이는 상당히 비효율적 방법이였고 조금 더 효율적인 방법으로 접근하였다.  먼저 직선의 방정식으로써, 기울기와 절편으로 나타내지 말고, t 매개변수를 이용해 나타내면 다음과 같다.P(t) = (1-t)P1 + tP2P1과 P2는 직선의 시작점과 끝점을 나타내며, t의 범위는 0에서 1까지이다. (P1, P2에서 1, 2는 아래첨자로 생각하기 바란다) 선의 식을 알았으니, 이제 두선의 교점을 구해보는 것으로 응용해보자. 먼저 아래 그림을 보자.     Line1은 P1과 P2로 이루어져 있으며,..